Weiterentwicklung netzfreier Partikelmethoden

Die Beschreibung des Versagens von quasi-spröden Materialien ist eine herausfordernde Aufgabe in der numerischen Mechanik. Während klassische Kontinuumsmodelle – üblicherweise basierend auf entfestigender Plastizität, Schädigungsmechanik oder deren Kombination – grundsätzlich in der Lage sind, ein solches Versagen abbzubilden, leiden sie unter einem Mangel an Objektivität, was zu einem Verlust der Elliptizität der zugrunde liegenden Differentialgleichungen führt. Dies wiederum führt zur Lokalisierung der  Verzerrungen in die kleinst mögliche Domäne, d.h., einer einzelnen Elementsreihe in Finite-Elemente-Simulationen, was zu einer Netzabhängigkeit bzw. nicht-konvergentem numerischen Verhalten führt.
Um eine stabile und robuste Formulierung von Materialmodellen zu gewährleisten, ist eine entsprechende Regularisierung des entfestigenden Verhaltens erforderlich. Die Verwendung verallgemeinerter Kontinua, wie etwa gradienten-erweiterter, Cosserat- oder mikromorpher Kontinua, stellt eine nachgewiesene effiziente Methode zur Regularisierung dar und führt so zu netzunabhängigen Ergebnissen in numerischen Simulationen (siehe Abbildung 1).
 

Allerdings werden durch lokalisierte Versagensverhalten von Natur aus große Verformungen im Versagensbereich induziert, was bei der Anwendung von Lagrangen Finite-Elemente-Methoden zu übermäßigen Netzverzerrungen führt (siehe Abbildung 2).

Netzfreie Partikelmethoden, wie die Partikel-Finite-Elemente-Methode (PFEM), die Diskrete-Elemente-Methode (DEM), Glattpartikel-Hydrodynamik (SPH), die Reproduzierende Kernel-Partikel-Methode (RKPM) und die Materialpunktsmethode (MPM), haben sich als geeignete Alternativen zur Lösung von Problemen mit großen Verformungen erwiesen.
Dahingehend wurde kürzlich in Neuner et al. [3] erfolgreich eine auf B-Splines basierende implizite MPM auf verallgemeinerte Kontinua zur Modellierung großer lokalisierter Verformungen angewandt. Im Gegensatz zur Lagrangen Finite-Elemente-Methode, wird in der MPM die Geometrie mit Partikeln diskretisiert, welche sich frei über ein festes Eulersches Netz bewegen, auf dem wiederum die partiellen Differentialgleichungen gelöst werden (siehe Abbildung 3).